有趣的概率题

裂缝

从一本小说里看到的。
There used to be a column called Ask Marilyn in a magazine called Parade in America. And this column was written by Marilyn vos Savant and in the magazine it said that she had the highest IQ in the world in the Guinness Book of World Records Hall of Fame. And in the column she answered maths questions sent in by readers. And in September 1990 this question was sent in by Craig F. Whitaker of Columbia, Maryland (but it is not what is called a direct quote because I have made it simpler and easier to understand)

You are on a game show on television. On this game show the idea is to win a car as a prize. The game show host shows you three doors. He says that there is a car behind one of the doors and there are goats behind the other two doors. He asks you to pick a door. You pick a door but the door is not opened. Then the game show host opens one of the doors you didn't pick to show a goat (because he knows what is behind the doors). Then he says that you have one final chance to change your mind before the doors are opened and you get a car or a goat. So he asks you if you want to change your mind and pick the other unopened door instead. What should you do?

Marilyn vos Savant said that you should always change and pick the final door because the chances are 2 in 3 that there will be a car behind that door.
But if you use your intuition you think that chance is 50-50 because you think there is an equal chance that the car is behind any door.

Lots of people wrote to the magazine to say that Marilyn vos Savant was wrong, even when she explained very carefully why she was right. Of the letters she got about the problem, 92% said that she was wrong and lots of these were from mathematicians and scientists.

mh

她的解释是什么呢？我觉得也是50-50

裂缝

用贝耶斯先验概率验证。
Then the game show host opens one of the doors you didn't pick to show a goat
这句话包含了信息。

书的主人公是一个患有自闭症的小孩。他给的解答：

Let the doors be called X, Y and Z.
Let Cx be the event that the car is behind door X and so on.
Let Hx be the event that the host opens door X and so on.
Supposing that you choose door X, the possibility that you win a car if you then switch your choice is given by the following formula
P(Hz ^ Cy) + P(Hy ^ Cz)
= P(Cy)·P (Hz ¦ Cy) + P(Cz)·P(Hy ¦ Cz)
= (1/3 · 1) + (1/3 · 1) = 2/3

So if you change, 2 times out of 3 you get a car. And if you stick, you only get a car 1 time out of 3.
And this shows that intuition can sometimes get things wrong. And intuition is what people use in life to make decisions. But logic can help you work out the right answer.

mh

我本来写了这些
"不对。第一次猜中不猜中完全没有后果，猜中了也要第二次在两个门中选择，没猜中也要第二次在两个门中选择。主持人只起到了在第二次猜前去掉一个山羊门的作用。第二次在两个门中选择时总是面对一个有车的门和一个有羊的门。"

但看了
http://www.grand-illusions.com/monty.htm
后明白了.
我上面的错误在于原来选的门后有车的几率比换个门后有车的几率小一倍，所以主持人开门后猜谜人并不面对有同等几率的门。

裂缝

我的第一感也是1/2。这道题有趣就在于迷惑性，简单的表面下隐藏着陷阱。

小说本身也不错。
http://www.amazon.com/gp/product/1400032717/qid=1143200116/sr=1-1/ref=sr_1_1/102-6074842-5656148?s=books&v=glance&n=283155

sealbox

我觉得是胡扯，这是概率与统计的关系，两个概念不一样。
而这个2/3其实是拿统计来混淆概率。

对于概率来说，每次选取都与历史无关，只与当次条件相关，与历史相关就不叫概率了。
>我上面的错误在于原来选的门后有车的几率比换个门后有车的几率小一倍，所以主持人开门后猜谜人并不面对有同等几率的门。
你又被人绕回去了。

就好比抛硬币，两面都是50%，如果连抛9次都是国徽，那么第10次是国徽还是麦穗？

mh

问题不是台上人用抛硬币决定最后选哪个门，如果是的话就是50-50了，问题是：肯定改和肯定不改哪个几率大。

（你对概率和统计的定义是否正确也好象有问题）。

对于看不懂原文的人，原问题是这样的：

电视节目里主持人叫上来一名观众面对三个闭的门。一个门后有汽车，其余门后有山羊。
观众要先选一个门，然后主持人不打开这个门，但打开另两个门中有羊的门（主持人知道
门背后有什么），然后问这个观众，面对现在剩下的两个门，你是否要改选？
现在给你的问题是：观众最后选对汽车门的可能哪个大，是改选还是不改选？

sealbox

对于概率来讲，改选还是不改选，都是一次选取，是等价的，只不过改选是显式的选取，不改选是隐式的选取，他们也就是拿这个显式的选取与隐式的选取来混淆概念，再利用统计学制造上下文来误导你们。

我们可以换个玩法，在主持人开门后，把剩余的两扇门重新用布盖上，然后(假设)像摇色子一样打乱，再重新让你选，那么：
1. 你选取到原来那扇门的概率是50%，对不对？
2. 你选取任意一扇门获得汽车的概率也是50%，对不对？

既然2的条件成立，那么就意味着剩下两扇门的概率是相同的，你改选已否中奖的概率也都是相同的。

sealbox

闲着木事，举个例子说说。

在一个月黑风高的夜晚，一帮岩棍们酒足饭饱后，倒在得来家的热炕上胡扯，这时小河同学突然兴起，掏出一把机械塞，指着裂缝、mh、sealbox说，看见这个机械塞了？我拿三根火柴给你们猜，其中一根没头，谁抽中没头的火柴，这个机械塞就归谁。

21:05 小河拿了3根火柴，掐掉一个头，捏在手里，说：裂缝先来，mh第二。
21:08 三个岩棍看着小河手里的火柴根，盘算着自己要抽哪根，其中裂缝想抽A，mh想抽B。
21:09 裂缝先抽出A，发现有头，出局。

OK，到这个时刻，我们可以分析一下概率了，与上面开门的情况相似。
1. 在21:05的时候，三个岩棍获得机械塞的概率都是1/3，这个没错吧。
2. 在21:08的时候，每个岩棍的机会还是均等的。
3. 在21:09的时候，裂缝用掉了自己的1/3机会，没有成功。
4. 21:09之后，mh得到机械塞的概率有多大？当然是1/2。那么他改变选择会改变概率吗？显然不会。

我们再来分析开门的那个问题，事实上如果游戏规则确定，游戏者从最开始得到汽车的概率就是1/2，并且不变。为什么呢？
因为游戏中主持人一定会打开一扇没车的门，消除一个干扰因素，也就是说从最开始，游戏者就是在有车的门与另一扇没车的门里面选取。这个问题和我说的抽机械塞差别在哪里？
在抽机械塞的例子中，mh和sealbox是冒了1/3的风险才达到21:09之后的状态的，也就是说他们到达该状态的概率是2/3，此时他们每个人获得机械塞的概率是 2/3 * 1/2 = 1/3，这就是为什么先抽后抽概率相同。
而在开门的游戏里，由于主持人一定会打开一扇没车的门，那么游戏者中奖的概率是 100% * 1/2 = 1/2

裂缝

盒子你没理解“条件概率”的概念。
硬币的例子是无条件概率，2者有区别。


那小孩画了一个图：

sealbox

裂缝，忘掉开门游戏里面的第一次选取吧，那个毫无意义。
由于游戏规则已经确定，真正的起作用的选取是第二次，也就是 100% * 1/2 那次。
而第二次选取改与不改只是一个显示选取和隐式选取的差别，其概率是一样的。

不知道你想用条件概率来说明什么？
我估计这就是你们把统计混淆进来的地方。

mh

盒子没有读懂题。问的不是“如果再重头选，选哪个胜算大”，而是“变和不变（注意是相对头一次选）哪个胜算大”。

给你举个极端的例子：一共有100个门，一个门有车。主持人在观众选后打开没选的99个门的98个有羊的门，这时问你：改不改？
你肯定要改因为第一次选时有1%的机会（剩下的99%机会在另外99个门后），而主持人打开98个有羊的门后，剩下的那个门后集中了所有99%的机会！

sealbox

"Marilyn vos Savant said that you should always change and pick the final "

mh，不知道是我理解错，还是你理解错。
"change and pick the final"我理解是选剩下的那个，而不仅仅是重新做一次决定，这两个是有区别的。

裂缝

盒子你理解错了。

“忘掉开门游戏里面的第一次选取吧，那个毫无意义。”
——有意义。它影响到主持人选择的机会，从而影响到玩家改选后的机会。假如玩家第一次选了车，那么主持人有2种选择。而玩家第一次选了羊，那么主持人就只有一种选择了。

sealbox

想明白了，是主持人把一扇门的概率叠加到了最后一扇门上，所以换门是两倍。
谢谢你们两位的解释:)

mh

面的这个题对大多数人说是及简单明显的50%-50%，但答案还就是错的。让我怀疑生活中我们有多少判断真就因为我们自己的失误（不是因为我们掌握材料少）而出错的。比如山上忽然变天，你要从面前的两个基本未知但又不是完全未知的沟撤退，你选哪个？比如你知道各种和雪崩有关的因素，又掌握了一些最近雪况和天气的情况，面对上山的几条可能路线，你选哪个？